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掌舵问题

记得在高中物理中有这样一道习题,“一条速度为v的小船要过河,所需的最短时间和最短路程分别是多少,设水速为c,河宽为D”,答案很简单:最短时间不要求靠岸的位置,船头正对河岸即可;最短路程显然就是垂直距离(要求v>a),典型的速度矢量合成;而对v小于a的情况讨论则是学科竞赛的要求了,问题等效于已知三角形的两条边求使其中短边所对角最小的三角形,这个干净的几何解法让我对物理学的优美有了直观而深刻的印象。后来上了大学,在高等数学中(同济第四版)又见到同样的情景,求的是船头始终指向对岸目的地时的航线轨迹,因为船只位置在变,船头方向也在一直调整,据此建立微分方程组,不难解出迹线方程,不久后接触了数学建模,便不再囿于那些过于简化的题设了……

现实生活中的行船从来不是课本中所描述的那样简单,码头的位置是固定的,航向可以随时改变,水流的速度与河岸距离有关……这时再问同一个问题:“小船怎样过河时间最短?”,没人能轻易给出答案。
最短时间航线设码头在正对岸,这是个变分问题,但不能用常规办法求解,我在这里卡住很久,直到最近才在近藤次郎的《数学模型》一书中发现了解法,数值解;用的是前苏联数学家庞特里亚金1956年发表的最大值原理,该原理广泛应用于宇宙航行的轨道计算,但是同其它近代数学的进展一样,没有一个简单直观的表述,有兴趣的朋友请自行查阅。得出的航行轨迹如右图所示(图中两条线代表两种不同的控制方式)。最少燃料策略则与最短时间策略稍有不同,虽然都出乎我的意料,倒也不难理解,在水流较缓的岸边逆流而上调整航线,在水流湍急的河心顺流直下争取时间。

几年的困扰至此总算告一段落,现在我倒想听听内河船长们的经验,也许会有更多的选择

仔细想想,如此循序渐进的教法无非是要回避困难问题所带来的挫败,但这样建立起来的自信在现实面前不堪一击,没有探索的动力,没有发现的乐趣,什么样的孩子会喜欢这样的学习?社会期待创造力,而好学生往往只是听话而已。记得在William F.Lucas在《微分方程模型》(国防科大应用数学模型丛书)中曾说:“本章的目的是教你如何解决问题,而不是显示有人能够做什么!”

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